🎯 力学复习题 · 期末速成攻略

📊 一、考点分布全景图

模块	题号	分值占比
运动学	1-7, 21-25	~24%
牛顿定律·冲量动量	8, 26-29	~10%
功·能·守恒	11-15, 30-33, 41-43	~22%
刚体转动	16-20, 34-40, 44-50	~44%

⚠️ 刚体转动占近一半！ 这是考试的重中之重。

📐 二、核心公式速查表（考前必背）

🔵 运动学

公式	用途
$v = \frac{dx}{dt},\ a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$	已知 $x(t)$ 求速度和加速度
$v = v_0 + \int_0^t a\,dt,\ x = x_0 + \int_0^t v\,dt$	已知 $a(t)$ 积分求速度和位移
$a_n = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$	圆周运动法向加速度
$a_t = \frac{dv}{dt} = R\beta$	圆周运动切向加速度
$\omega = \frac{d\theta}{dt},\ \beta = \frac{d\omega}{dt}$	角速度/角加速度
$\rho = \frac{v^2}{g\cos\theta}$ （最高点： $\rho = \frac{v_0^2\cos^2\theta}{g}$ ）	轨道曲率半径
$\vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}$	相对运动（伽利略变换）

🔴 动力学

公式	用途
$\vec{F} = m\vec{a}$	牛顿第二定律
$\vec{I} = \int \vec{F}\,dt = \Delta\vec{p}$	冲量-动量定理
$\vec{p} = m\vec{v}$	动量定义
$W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$	变力做功
$W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r} = F_x x + F_y y + F_z z$	恒力做功（点积）
$W\_{\text{合}} = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$	动能定理
$E = E_k + E_p = \text{常量}$	机械能守恒（仅保守力）
$W\_{\text{保守力}} = -\Delta E_p$	保守力做功与势能
$W{\text{摩擦}} = -\mu mg \cdot s{\text{相对}}$	摩擦生热

🟢 动量守恒·碰撞

公式	用途
$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$	动量守恒（合外力=0）
$v_1' = \frac{(m_1-m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1+m_2}$	弹性碰撞速度公式
$m_1 \gg m_2$ 时： $v_2' \approx 2v_1 - v_2$	大质量弹性碰撞（第10题！）

🟡 刚体转动（⚠️ 超级重点）

公式	用途
$M = J\beta$	转动定律（F=ma的转动版）
$J = \int r^2 dm$	转动惯量定义
$J\_{\text{端轴棒}} = \frac{1}{3}ml^2$	均匀细棒（一端轴）
$J\_{\text{中轴棒}} = \frac{1}{12}ml^2$	均匀细棒（中心轴）
$J\_{\text{圆柱}} = \frac{1}{2}mR^2$	圆柱体绕几何轴
$J\_{\text{圆盘}} = \frac{1}{2}mR^2$	圆盘绕中心轴
$\vec{L} = J\vec{\omega}$	角动量（刚体）
$L = mvd$ （质点）	质点角动量（第28题）
$J_1\omega_1 = J_2\omega_2$	角动量守恒（合外力矩=0）
$E_k = \frac{1}{2}J\omega^2$	转动动能
$a = R\beta,\ v = R\omega$	滑轮上绳与轮无滑动条件
$T = \frac{1}{2}Ma$ （特定滑轮）	滑轮张力（第36题）

🔍 三、逐题精讲（含易错陷阱）

第1题（D）—— 求导判断加速度

$x = 3t - 5t^3 + 6$

$v = \frac{dx}{dt} = 3 - 15t^2$ （不是常数 → 变加速）
$a = \frac{dv}{dt} = -30t$ （负值 → 沿x轴负方向）
✅ D：变加速直线运动，加速度沿x轴负方向

第2题（C）—— 🚨 经典陷阱：绳拉船

匀速收绳 ≠ 船匀速运动！

设绳长 $l$ ，船距岸 $x$ ，滑轮高 $h$ ：

$l^2 = x^2 + h^2$
$v_0 = -\frac{dl}{dt}$ （收绳速率）， $v = -\frac{dx}{dt}$
$v = v_0 \cdot \frac{l}{x} = \frac{v_0}{\cos\theta}$ （船速 > 绳速！）
随船靠近，θ↑，cosθ↓，v↑ → 变加速
✅ C：变加速运动

📌 关键直觉：绳子斜着拉，船水平走，船速永远大于绳速！

第4题（D）—— 🚨 经典陷阱

瞬时加速度 $a = -2\text{ m/s}^2$ ，1秒后速度？

❌ 想当然： $v = v_0 + at = 2 - 2 = 0$
⚠️ 加速度只是该时刻的值，不知道后面是否变化！
✅ D：不能确定

第6题（D）—— 概念辨析

	瞬时速度 $\vec{v}$	瞬时速率 $v$	平均速度 $\bar{\vec{v}}$	平均速率 $\bar{v}$
定义	$\frac{d\vec{r}}{dt}$	$\\|\vec{v}\\|$	$\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$	$\frac{\Delta s}{\Delta t}$
关系	$\\|\vec{v}\\| = v$	—	$\\|\bar{\vec{v}}\\| \leq \bar{v}$	—

✅ D： $\|\bar{\vec{v}}\| \neq \bar{v},\ \|\vec{v}\| = v$

第7题（A）—— 流水行船

河水流速 $u=2$ ，船相对水 $v'=4$ ，步行 $v=4$ ，单程 $s=1\text{ km}$

乙（步行）：来回 $t_{\text{乙}} = \frac{2}{4} = 0.5\text{ h} = 30\text{ min}$
甲（划船）：顺水 $v_1 = 4+2=6$ $v_{1} = 4 + 2 = 6$ ，逆水 $v_2 = 4-2=2$ $v_{2} = 4 - 2 = 2$
- $t_{\text{甲}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{2}{3}\text{ h} = 40\text{ min}$
甲比乙晚 $40-30 = 10\text{ min}$
✅ A

第8题（B）—— 🚨 滑轮核心考点

$m_1 > m_2$ ，左边是挂着的 $m_1$ vs 用恒力 $F = m_1g$ 替代

挂 $m_1$ ： $a = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}g$ （ $m_1$ 也在加速，绳子张力 $< m_1g$ ）
恒力 $F = m_1g$ ： $a' = \frac{m_1g - m_2g}{m_2} = \frac{m_1-m_2}{m_2}g$
比较： $a' > a$
✅ B

📌 绳子张力永远小于悬挂重物的重量（因为重物在加速下落）！

第10题（C）—— 🚨 大质量弹性碰撞

小球 $m$ ，车 $M \gg m$ ，弹性碰撞

大质量弹性碰撞结论：

$v*{\text{小球}}' \approx 2v*{\text{车}} - v\_{\text{小球0}} = 2v - v_0$
✅ C： $2v - v_0$

📌 记住：小球撞大质量物体 = 小球以相对速度反弹回来。

第11题（C）—— 恒力做功 = 点积

$\Delta\vec{r} = (4, -5, 6),\ \vec{F} = (-3, -5, 9)$

$W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r} = (-3)(4) + (-5)(-5) + (9)(6) = -12 + 25 + 54 = 67\text{ J}$
✅ C：67 J

第13题（C）—— 概念判断

(1) ❌ 保守力做正功 → 势能减小（不是增加！）
(2) ✅ 保守力沿闭合路径做功 = 0（定义）
(3) ❌ 作用力与反作用力做功代数和不一定为零（位移不同！如摩擦生热）
✅ C：只有(2)正确

第14题（C）—— 单摆+小车，机械能守恒

光滑水平面，摆球从水平位置释放

水平方向无外力 → 水平方向动量守恒
只有重力做功 → 机械能守恒
$mgl = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}Mv\_{\text{车}}^2$
水平动量守恒： $mv = Mv\_{\text{车}}$
联立解出 $v$ ，选项C： $\sqrt{\frac{2Mgl}{M+m}}$

第15题（C）—— 系统选择

(A) ❌ m+M 竖直方向有重力/支持力，动量不守恒
(B) ❌ m+M 系统中重力是外力（地球不在系统内）
(C) ✅ m+M+地球：只有保守力内力 → 机械能守恒
(D) ❌ M对m的正压力做功（M在移动！）
✅ C

第16题（E）—— 有心力角动量守恒

绳通过小孔下拉 → 力过中心 → 力矩=0 → 角动量守恒

$L = mR_1v_1 = mR_2v_2 = \text{constant}$
$R$ 减小 → $v$ 增大 → 动能变、动量变、角动量不变
✅ E：角动量不变，动能和动量都变

第19题（D）—— 角动量守恒

$J_0\omega_0 = \frac{1}{3}J_0 \cdot \omega'$

$\omega' = 3\omega_0$
✅ D： $3\omega_0$

第20题（B）—— 子弹打棒角动量守恒

子弹射入前角动量 = 射出后子弹角动量 + 棒角动量

$mv \cdot L = m \cdot \frac{v}{2} \cdot L + \left(\frac{1}{3}ML^2\right) \cdot \omega$
$\omega = \frac{mvL - m\frac{v}{2}L}{\frac{1}{3}ML^2} = \frac{3mv}{2ML}$
✅ B： $\frac{3mv}{2ML}$

🧮 四、计算题·题型模板

模板1：功能原理（第42题）

木块压缩弹簧 + 摩擦力做功

\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2 + \mu mg \cdot x

解出 $v = 5.83\text{ m/s}$

模板2：弹性碰撞+平抛（第43题）

两球弹性碰撞 + 同时平抛落地

动量守恒 + 机械能守恒 → 碰后速度
平抛落地时间相同 → 水平距离比 = 速度比
联立得质量比 $m_A/m_B = 5$

模板3：转动定律 + 牛顿定律（第45题）

滑轮+重物系统

\begin{cases} mg - T = ma \\ TR = J\beta \\ a = R\beta \end{cases}

联立得：

a = \frac{mgR^2}{mR^2 + J} = 5.06\text{ m/s}^2

模板4：角动量守恒 + 机械能守恒（第46题）

弹性绳 + 小球绕A点

对A点角动量守恒： $mv_0 \cdot 0.6 = mv \cdot 0.8$ → $v = \frac{3}{4}v_0$
机械能守恒： $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}k(l-l_0)^2$
联立解得 $v_0, v$

模板5：摩擦力矩（第47题）

圆盘在桌面上因摩擦停止

dM_f = \mu \cdot dm \cdot g \cdot r = \mu \cdot \rho \cdot 2\pi r dr \cdot g \cdot r

积分得总摩擦力矩 → $M_f = J\beta$ → 匀减速 → $\omega_0^2 = 2\beta\theta$ → 圈数 $n$

⚡ 五、考前速记·高频结论

结论	对应题目
绳拉船：船速 > 绳速，变加速	第2题
瞬时加速度不能推未来速度	第4题
平均速度大小 ≤ 平均速率	第6题
滑轮挂重物张力 < 重物重量	第8, 17题
大质量弹性碰撞： $v_2' = 2v_1 - v_2$	第10题
保守力正功 → 势能减小	第13题
有心力 → 角动量守恒	第16题
转动惯量依赖质量+分布+轴位置	第18题
收臂 → J减小 → ω增大（角动量守恒）	第19题
滑轮无滑动： $a = R\beta$	第36, 38, 45题
摩擦生热只取决于相对位移	第12题

🎯 六、考试策略

先做刚体题（16-20, 34-50）——分值最高，公式固定，会就是会
选择题排除法——如第4、13题直接排除明显错误选项
计算题踩分点：公式正确+代入数字+单位 = 基本分到手
角动量守恒和机械能守恒的题目，先判断系统，再列方程

祝考试顺利 🍀！重点攻克刚体转动 + 守恒定律，这两块加起来超过60%！