第七章傅里叶变换 —— 考试版精讲

考试范围确认：

§7.1 傅里叶变换的定义 ✅ 考

§7.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换 ✅ 考

§7.3 傅里叶变换的性质 ✅ 考（重点：微分性质→解常系数微分方程）

§7.4 卷积 ❌ 不考

样卷题型：分段函数傅里叶变换（5分）+ 用傅里叶变换解ODE（10分）

§7.1 傅里叶变换的定义

一、从傅里叶级数到傅里叶变换——思想渊源

在讨论傅里叶变换之前，先回顾傅里叶级数的基本思想。一个以 $T$ 为周期的函数 $f_T(t)$ 可以展开为：

f_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\omega_0 t}, \quad \omega_0 = \frac{2\pi}{T}

其中系数：

c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f_T(t) e^{-in\omega_0 t} dt

核心问题：非周期函数怎么办？

将非周期函数视为周期 $T \to \infty$ 的极限。此时：

基频 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T} \to 0$ ，离散的 $n\omega_0$ 变成连续的 $\omega$
求和 $\sum$ 变成积分 $\int$
系数 $c_n$ 乘以 $T$ 后变成 $F(\omega)$

这就导出了傅里叶积分公式和傅里叶变换。

二、傅里叶积分定理

定理（傅里叶积分定理）：若函数 $f(t)$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上满足：

$f(t)$ 在任意有限区间上分段连续，且至多有有限个极值点和有限个第一类间断点（狄利克雷条件）；
$\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| dt$ 收敛（绝对可积条件）。

则对任意 $t \in (-\infty, \infty)$ ，有：

\boxed{\frac{f(t^+) + f(t^-)}{2} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-i\omega\tau} d\tau \right] e^{i\omega t} d\omega}

在连续点处，左边就是 $f(t)$ 。

这个公式的结构：

内层积分： $\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-i\omega\tau} d\tau$ ——这就是傅里叶正变换
外层积分： $\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} [\cdots] e^{i\omega t} d\omega$ ——这就是傅里叶逆变换

三、傅里叶变换的正式定义

定义 7.1.1（傅里叶正变换）：

\boxed{F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \, e^{-i\omega t} \, dt}

定义 7.1.2（傅里叶逆变换）：

\boxed{f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \, e^{i\omega t} \, d\omega}

记号与术语：

$f(t)$ ：原函数（时域表示）
$F(\omega)$ ：像函数（频域表示），也常写作 $\hat{f}(\omega)$
$\omega$ ：角频率（实数）
称 $f(t)$ 和 $F(\omega)$ 构成一个傅里叶变换对，记作 $f(t) \leftrightarrow F(\omega)$

四、几点关键说明

1. 正逆变换的对称性与不对称性

注意正变换和逆变换之间有两个差异：

指数符号：正变换是 $e^{-i\omega t}$ ，逆变换是 $e^{+i\omega t}$
系数：正变换无系数（或说系数为 1），逆变换前有 $\frac{1}{2\pi}$

🚨 这是最易混淆之处。部分教材将 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ 平均分配，但你们的教材和样卷使用上述定义。务必记住：正变换无系数，逆变换有 $\frac{1}{2\pi}$ 。

2. 为什么逆变换有 $\frac{1}{2\pi}$

从 $\delta$ 函数的积分表示可以直观理解：

\delta(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t} d\omega

逆变换正是将 $F(\omega)$ 按不同频率的复指数加权叠加，系数 $\frac{1}{2\pi} d\omega$ 是频率微元。

3. 绝对可积条件的含义

$\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| dt < \infty$ 这一条件保证了傅里叶积分收敛。但许多常见函数（如常数、正弦函数、单位阶跃函数）不满足此条件。为此引入广义傅里叶变换（利用 $\delta$ 函数）来处理它们。

五、傅里叶变换的三角形式

利用欧拉公式 $e^{-i\omega t} = \cos\omega t - i\sin\omega t$ ，将变换写为：

F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos\omega t \, dt - i \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin\omega t \, dt

记：

A(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos\omega t \, dt \quad \text{（实部）}

B(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin\omega t \, dt \quad \text{（虚部的负号已吸收）}

则 $F(\omega) = A(\omega) - iB(\omega)$ 。

奇偶性简化（非常实用）：

$f(t)$ 的奇偶性	$F(\omega)$ 的性质	简化公式
偶函数	$F(\omega)$ 是纯实偶函数	$F(\omega) = 2\int_0^{\infty} f(t)\cos\omega t \, dt$
奇函数	$F(\omega)$ 是纯虚奇函数	$F(\omega) = -2i\int_0^{\infty} f(t)\sin\omega t \, dt$

原因：

若 $f$ 为偶，则 $f(t)\sin\omega t$ 是奇函数，其在对称区间上积分为零 ⇒ $B(\omega) = 0$
若 $f$ 为奇，则 $f(t)\cos\omega t$ 是奇函数，其在对称区间上积分为零 ⇒ $A(\omega) = 0$

六、常见函数的傅里叶变换（逐一推导）

例1：单边指数衰减函数

f(t) = \begin{cases} e^{-\alpha t}, & t \geq 0, \; \alpha > 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}

这个函数常写作 $f(t) = e^{-\alpha t} u(t)$ ，其中 $u(t)$ 是单位阶跃函数。

计算：
$F(\omega) = \int_0^{\infty} e^{-\alpha t} \cdot e^{-i\omega t} dt = \int_0^{\infty} e^{-(\alpha + i\omega)t} dt$
这个积分是基础中的基础。被积函数为 $e^{-(\alpha+i\omega)t}$ ，其原函数为 $\frac{e^{-(\alpha+i\omega)t}}{-(\alpha+i\omega)}$ 。
$F(\omega) = \left[ \frac{e^{-(\alpha+i\omega)t}}{-(\alpha+i\omega)} \right]_{t=0}^{t=\infty}$
当 $t \to \infty$ 时：
$|e^{-(\alpha+i\omega)t}| = |e^{-\alpha t}| \cdot |e^{-i\omega t}| = e^{-\alpha t} \to 0 \quad (\alpha > 0)$
故分子趋于 0。

当 $t = 0$ 时： $e^{-(\alpha+i\omega) \cdot 0} = 1$ 。
$F(\omega) = 0 - \frac{1}{-(\alpha+i\omega)} = \frac{1}{\alpha + i\omega}$
结果：
$\boxed{\mathcal{F}[e^{-\alpha t} u(t)] = \frac{1}{\alpha + i\omega}}$

这个结果要能随手写出。 它是很多复杂变换的基础。

例2：双边指数衰减函数

f(t) = e^{-\alpha |t|}, \quad \alpha > 0

计算：按绝对值分段处理。
$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha |t|} e^{-i\omega t} dt = \int_{-\infty}^{0} e^{\alpha t} e^{-i\omega t} dt + \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t} e^{-i\omega t} dt$
第一段（ $t \leq 0$ ，此时 $|t| = -t$ ， $e^{-\alpha|t|} = e^{\alpha t}$ ）：
$I_1 = \int_{-\infty}^{0} e^{\alpha t} e^{-i\omega t} dt = \int_{-\infty}^{0} e^{(\alpha - i\omega)t} dt$
当 $t \to -\infty$ 时， $e^{\alpha t} \to 0$ （因 $\alpha > 0$ ），边界项为零：
$I_1 = \left[ \frac{e^{(\alpha-i\omega)t}}{\alpha-i\omega} \right]_{-\infty}^{0} = \frac{1}{\alpha - i\omega} - 0 = \frac{1}{\alpha - i\omega}$
第二段（ $t \geq 0$ ，此时 $|t| = t$ ， $e^{-\alpha|t|} = e^{-\alpha t}$ ）：
$I_2 = \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t} e^{-i\omega t} dt = \frac{1}{\alpha + i\omega}$
（与例1完全相同。）

合并：
$F(\omega) = \frac{1}{\alpha - i\omega} + \frac{1}{\alpha + i\omega} = \frac{(\alpha + i\omega) + (\alpha - i\omega)}{(\alpha - i\omega)(\alpha + i\omega)} = \frac{2\alpha}{\alpha^2 + \omega^2}$
结果：
$\boxed{\mathcal{F}[e^{-\alpha |t|}] = \frac{2\alpha}{\alpha^2 + \omega^2}}$

特征：结果是实偶函数（因为原函数是实偶函数），完全符合奇偶性简化规则。

例3：矩形脉冲（门函数）

f(t) = \begin{cases} 1, & |t| < a \\ 0, & |t| > a \end{cases}

计算：
$F(\omega) = \int_{-a}^{a} 1 \cdot e^{-i\omega t} dt$
直接积分：
$F(\omega) = \left[ \frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega} \right]_{-a}^{a} = \frac{e^{-i\omega a} - e^{i\omega a}}{-i\omega}$
分子 = $e^{-i\omega a} - e^{i\omega a} = -2i\sin(\omega a)$ 。
$F(\omega) = \frac{-2i\sin(\omega a)}{-i\omega} = \frac{2\sin(\omega a)}{\omega}$
结果：
$\boxed{\mathcal{F}[\text{rect}_a(t)] = \frac{2\sin(a\omega)}{\omega} = 2a \cdot \frac{\sin(a\omega)}{a\omega}}$

记抽样函数 $\operatorname{Sa}(x) = \frac{\sin x}{x}$ ，则 $F(\omega) = 2a \operatorname{Sa}(a\omega)$ 。

例4：对称指数衰减截断函数（样卷1第9题类型）

f(t) = \begin{cases} e^{-|t|}, & |t| \leq 1 \\ 0, & |t| > 1 \end{cases}

计算：
$F(\omega) = \int_{-1}^{1} e^{-|t|} e^{-i\omega t} dt = \int_{-1}^{0} e^{t} e^{-i\omega t} dt + \int_{0}^{1} e^{-t} e^{-i\omega t} dt$
第一段：
$I_1 = \int_{-1}^{0} e^{(1-i\omega)t} dt = \left[ \frac{e^{(1-i\omega)t}}{1-i\omega} \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{1-i\omega} - \frac{e^{-(1-i\omega)}}{1-i\omega} = \frac{1 - e^{-1+i\omega}}{1-i\omega}$
第二段：
$I_2 = \int_{0}^{1} e^{-(1+i\omega)t} dt = \left[ \frac{e^{-(1+i\omega)t}}{-(1+i\omega)} \right]_{0}^{1} = -\frac{e^{-(1+i\omega)}}{1+i\omega} + \frac{1}{1+i\omega} = \frac{1 - e^{-1-i\omega}}{1+i\omega}$ $F(\omega) = \frac{1 - e^{-1+i\omega}}{1-i\omega} + \frac{1 - e^{-1-i\omega}}{1+i\omega}$
通分后可得较简形式，但通常保留此形式即可（或化为含三角函数的实表达式）。

例5：单边截断指数函数（样卷2第9题类型）

f(t) = \begin{cases} e^{-t}, & -1 \leq t \leq 1 \\ 0, & |t| > 1 \end{cases}

计算：
$F(\omega) = \int_{-1}^{1} e^{-t} e^{-i\omega t} dt = \int_{-1}^{1} e^{-(1+i\omega)t} dt$ $= \left[ \frac{e^{-(1+i\omega)t}}{-(1+i\omega)} \right]_{-1}^{1} = \frac{e^{-(1+i\omega)} - e^{(1+i\omega)}}{-(1+i\omega)} = \frac{e^{1+i\omega} - e^{-1-i\omega}}{1+i\omega}$
结果：
$\boxed{F(\omega) = \frac{e^{1+i\omega} - e^{-(1+i\omega)}}{1+i\omega}}$
可用双曲函数表示： $e^{1+i\omega} - e^{-(1+i\omega)} = 2\sinh(1+i\omega)$ 。

§7.2 单位脉冲函数（δ函数）及其傅里叶变换

一、为什么要引入δ函数

许多重要的函数（常数函数 $f(t)=1$ 、正弦函数 $\sin\omega_0 t$ 、单位阶跃函数 $u(t)$ ）不满足绝对可积条件，按经典定义它们的傅里叶变换积分发散。

δ函数（狄拉克 Delta 函数）作为广义函数（分布），使得这些函数的傅里叶变换也能被严谨地定义。

二、δ函数的定义

δ函数不是传统意义上的「函数」，而是一个广义函数（或分布）。它由作用在测试函数上的效果来定义：

\boxed{\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \varphi(t) dt = \varphi(0)}

对所有在 $t=0$ 连续的「测试函数」 $\varphi(t)$ 成立。

物理直观：δ函数是：

宽度趋近于 0
高度趋近于 ∞
面积恒为 1

的脉冲的极限。常想象为矩形脉冲不断变窄变高、但面积保持为 1 的极限。

形式上的「定义」（工程上常用，数学上不严谨但直观）：

\delta(t) = \begin{cases} \infty, & t = 0 \\ 0, & t \neq 0 \end{cases} \quad \text{且} \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1

三、δ函数的核心性质

性质1：筛选性（采样性）——最重要！

\boxed{\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - t_0) dt = f(t_0)}

δ函数将函数 $f(t)$ 在 $t = t_0$ 处的值「筛选」出来。

特殊情况：

\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t) dt = f(0)

例：

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \delta(t-3) dt = e^{-9}$
$\int_{-\infty}^{\infty} \cos t \cdot \delta(t-\pi) dt = \cos\pi = -1$

性质2：偶函数性

\delta(-t) = \delta(t)

性质3：尺度变换

\delta(at) = \frac{1}{|a|} \delta(t), \quad a \neq 0

性质4：与普通函数的乘积

f(t) \delta(t - t_0) = f(t_0) \delta(t - t_0)

性质5：δ函数是单位阶跃函数的导数

设单位阶跃函数 $u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ 1, & t > 0 \end{cases}$ ，则（在广义函数意义下）：

u'(t) = \delta(t)

四、δ函数的傅里叶变换

正变换：

由筛选性：

\boxed{\mathcal{F}[\delta(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-i\omega t} dt = e^{-i\omega \cdot 0} = 1}

这是极其优美的结果：δ函数的频谱是常数 1——意味着单位脉冲包含所有频率分量，且各频率的强度相同（「白频谱」）。

逆变换：

由逆变换公式，应有：

\delta(t) = \mathcal{F}^{-1}[1] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot e^{i\omega t} d\omega

即：

\boxed{\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t} d\omega = 2\pi \delta(t)}

这是极其重要的积分恒等式，在推导其他函数的傅里叶变换时经常用到。

对称地：

\boxed{\mathcal{F}[1] = \int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot e^{-i\omega t} dt = 2\pi \delta(\omega)}

时移δ函数：

\mathcal{F}[\delta(t - t_0)] = e^{-i\omega t_0}

（由筛选性直接得到。）

频移（复指数函数）：

\mathcal{F}[e^{i\omega_0 t}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega_0 t} e^{-i\omega t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i(\omega - \omega_0)t} dt = 2\pi \delta(\omega - \omega_0)

五、正弦函数和余弦函数的傅里叶变换

利用欧拉公式和上述结果：

\cos\omega_0 t = \frac{e^{i\omega_0 t} + e^{-i\omega_0 t}}{2}

\mathcal{F}[\cos\omega_0 t] = \frac{1}{2}\left[\mathcal{F}[e^{i\omega_0 t}] + \mathcal{F}[e^{-i\omega_0 t}]\right] = \frac{1}{2}[2\pi\delta(\omega - \omega_0) + 2\pi\delta(\omega + \omega_0)]

\boxed{\mathcal{F}[\cos\omega_0 t] = \pi[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]}

同理：

\sin\omega_0 t = \frac{e^{i\omega_0 t} - e^{-i\omega_0 t}}{2i}

\mathcal{F}[\sin\omega_0 t] = \frac{1}{2i}[2\pi\delta(\omega - \omega_0) - 2\pi\delta(\omega + \omega_0)] = \frac{\pi}{i}[\delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0)]

\boxed{\mathcal{F}[\sin\omega_0 t] = i\pi[\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)]}

物理意义：正弦/余弦函数的频谱仅包含 $\pm\omega_0$ 这两个频点（「单频信号」），频谱表现为位于 $\pm\omega_0$ 处的δ函数。

六、基本傅里叶变换对速查表

| $f(t)$ | $F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)]$ | 备注 | | --------------------------- | --------------------------------------------------------- | ------------ | ------------------------------------- | ------------ | | $\delta(t)$ | $1$ | | | $1$ | $2\pi\delta(\omega)$ | | | $\delta(t-t_0)$ | $e^{-i\omega t_0}$ | | | $e^{i\omega_0 t}$ | $2\pi\delta(\omega-\omega_0)$ | | | $\cos\omega_0 t$ | $\pi[\delta(\omega-\omega_0) + \delta(\omega+\omega_0)]$ | | | $\sin\omega_0 t$ | $i\pi[\delta(\omega+\omega_0) - \delta(\omega-\omega_0)]$ | | | $e^{-\alpha t}u(t)$ | $\frac{1}{\alpha + i\omega}$ | $\alpha > 0$ | | $e^{-\alpha | t | }$ | $\frac{2\alpha}{\alpha^2 + \omega^2}$ | $\alpha > 0$ | | 矩形脉冲 $\text{rect}_a(t)$ | $\frac{2\sin(a\omega)}{\omega}$ | | | $u(t)$ | $\pi\delta(\omega) + \frac{1}{i\omega}$ | |

§7.3 傅里叶变换的性质

性质是傅里叶变换的计算利器。考试中直接计算复杂函数的变换往往很繁琐，而利用性质可以化繁为简。特别是微分性质，它是用傅里叶变换解ODE的基石。

性质一：线性性质

\boxed{\mathcal{F}[a f(t) + b g(t)] = a F(\omega) + b G(\omega)}

这是最基本的性质，无需多言。傅里叶变换是线性算子。

性质二：时移性质（Time-Shifting）

\boxed{\mathcal{F}[f(t - t_0)] = F(\omega) \, e^{-i\omega t_0}}

证明：

\mathcal{F}[f(t-t_0)] = \int_{-\infty}^{\infty} f(t-t_0) e^{-i\omega t} dt

令 $\tau = t - t_0$ ，则 $t = \tau + t_0$ ， $dt = d\tau$ 。当 $t$ 从 $-\infty$ 变到 $\infty$ 时， $\tau$ 同样从 $-\infty$ 变到 $\infty$ 。

= \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-i\omega(\tau + t_0)} d\tau = e^{-i\omega t_0} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-i\omega\tau} d\tau = e^{-i\omega t_0} F(\omega)

含义：时域中的延迟 $t_0$ ⇔ 频域中乘以相位因子 $e^{-i\omega t_0}$ 。

重要的特殊情况：相位因子的模 $|e^{-i\omega t_0}| = 1$ ，因此：

|\mathcal{F}[f(t-t_0)]| = |F(\omega)|

即时移不改变频谱的幅度，只改变相位。这在信号处理中极为重要。

性质三：频移性质（Frequency-Shifting）

\boxed{\mathcal{F}[f(t) e^{i\omega_0 t}] = F(\omega - \omega_0)}

证明：

\mathcal{F}[f(t) e^{i\omega_0 t}] = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i\omega_0 t} e^{-i\omega t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i(\omega - \omega_0)t} dt = F(\omega - \omega_0)

含义：时域中乘以 $e^{i\omega_0 t}$ （复指数调制） ⇔ 频域中整个频谱搬移 $\omega_0$ 。

推论（调制性质）：

由欧拉公式 $\cos\omega_0 t = \frac{e^{i\omega_0 t} + e^{-i\omega_0 t}}{2}$ ：

\boxed{\mathcal{F}[f(t) \cos\omega_0 t] = \frac{1}{2}[F(\omega - \omega_0) + F(\omega + \omega_0)]}

\boxed{\mathcal{F}[f(t) \sin\omega_0 t] = \frac{i}{2}[F(\omega + \omega_0) - F(\omega - \omega_0)]}

这是通信中调幅（AM）的数学基础。

性质四：尺度变换性质（Scaling）

\boxed{\mathcal{F}[f(at)] = \frac{1}{|a|} F\left(\frac{\omega}{a}\right), \quad a \neq 0}

证明（ $a > 0$ 情况）：

\mathcal{F}[f(at)] = \int_{-\infty}^{\infty} f(at) e^{-i\omega t} dt

令 $\tau = at$ ， $t = \tau/a$ ， $dt = d\tau/a$ 。当 $t$ 从 $-\infty$ 到 $\infty$ ， $\tau$ 也如此。

= \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-i\omega \cdot \tau/a} \cdot \frac{1}{a} d\tau = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-i(\omega/a)\tau} d\tau = \frac{1}{a} F\left(\frac{\omega}{a}\right)

若 $a < 0$ ，积分限翻转产生额外的负号，最终有绝对值 $1/|a|$ 。

含义：时域压缩（ $a > 1$ ） ⇔ 频域展宽（且幅度降低）。反之亦然。这是不确定性原理在信号处理中的体现——信号不可能同时在时域和频域都高度集中。

性质五：时域微分性质 ⭐⭐⭐（解ODE的核心）

\boxed{\mathcal{F}[f'(t)] = i\omega \, F(\omega)}

证明：

\mathcal{F}[f'(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} f'(t) e^{-i\omega t} dt

分部积分：令 $u = e^{-i\omega t}$ ， $dv = f'(t)dt$ ，则 $du = -i\omega e^{-i\omega t} dt$ ， $v = f(t)$ 。

= \left[ f(t) e^{-i\omega t} \right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot (-i\omega) e^{-i\omega t} dt

由于 $f(t)$ 绝对可积，必有 $\lim_{t \to \pm\infty} f(t) = 0$ （否则积分不收敛），故边界项为零。

= i\omega \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt = i\omega F(\omega)

高阶推广：

\boxed{\mathcal{F}[f''(t)] = (i\omega)^2 F(\omega) = -\omega^2 F(\omega)}

\boxed{\mathcal{F}[f^{(n)}(t)] = (i\omega)^n F(\omega)}

这是用傅里叶变换解微分方程的理论基础——将微分运算转化为代数运算（乘以 $i\omega$ ）。

性质六：时域积分性质

\boxed{\mathcal{F}\left[\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau\right] = \frac{F(\omega)}{i\omega} + \pi F(0) \delta(\omega)}

注意：当 $F(0) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) dt = 0$ （净面积为零）时，第二项消失，积分的傅里叶变换简单地为 $\frac{F(\omega)}{i\omega}$ 。

性质七：频域微分性质

\boxed{\mathcal{F}[t f(t)] = i \frac{d}{d\omega} F(\omega)}

证明：对 $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$ 两边关于 $\omega$ 求导：

F'(\omega) = \frac{d}{d\omega} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot (-it) e^{-i\omega t} dt = -i \int_{-\infty}^{\infty} t f(t) e^{-i\omega t} dt

故 $\mathcal{F}[t f(t)] = i F'(\omega)$ 。

高阶推广：

\mathcal{F}[t^n f(t)] = i^n \frac{d^n}{d\omega^n} F(\omega)

性质八：对称性质（对偶性）

\boxed{\mathcal{F}[F(t)] = 2\pi f(-\omega)}

含义：若 $f(t) \leftrightarrow F(\omega)$ ，则将 $F$ 视为时域函数的傅里叶变换是 $2\pi f(-\omega)$ 。

经典用例：

已知 $\mathcal{F}[\delta(t)] = 1$ ，由对称性： $\mathcal{F}[1] = 2\pi \delta(-\omega) = 2\pi\delta(\omega)$ 。✓
已知 $\mathcal{F}[\text{rect}(t)] = \frac{2\sin\omega}{\omega}$ ，则 $\mathcal{F}\left[\frac{2\sin t}{t}\right] = 2\pi \cdot \text{rect}(-\omega) = 2\pi \cdot \text{rect}(\omega)$ 。

傅里叶变换性质总表（必背）

| 性质 | $f(t)$ | $F(\omega)$ | | ---------------- | ------------------------------- | ---------------------------------------------------- | --- | --------------------- | | 线性 | $a f + b g$ | $a F + b G$ | | 时移 | $f(t - t_0)$ | $F(\omega) e^{-i\omega t_0}$ | | 频移 | $f(t) e^{i\omega_0 t}$ | $F(\omega - \omega_0)$ | | 尺度 | $f(at)$ | $\frac{1}{ | a | }F(\frac{\omega}{a})$ | | 时域微分 | $\mathbf{f'(t)}$ | $\mathbf{i\omega F(\omega)}$ | | 时域二阶微分 | $\mathbf{f''(t)}$ | $\mathbf{-\omega^2 F(\omega)}$ | | 时域积分 | $\int_{-\infty}^t f(\tau)d\tau$ | $\frac{F(\omega)}{i\omega} + \pi F(0)\delta(\omega)$ | | 频域微分 | $t f(t)$ | $i F'(\omega)$ | | 对称性 | $F(t)$ | $2\pi f(-\omega)$ |

核心应用：用傅里叶变换解常系数线性微分方程

这是样卷固定压轴题（10分），也是老师特别强调的内容。

一、基本原理

考虑 $n$ 阶常系数线性微分方程：

a_n \frac{d^n y}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{dy}{dt} + a_0 y = f(t)

核心思想：傅里叶变换将微分方程转化为代数方程。

对方程两边取傅里叶变换，设：

Y(\omega) = \mathcal{F}[y(t)], \quad F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)]

利用微分性质 $\mathcal{F}[y^{(k)}(t)] = (i\omega)^k Y(\omega)$ ：

a_n (i\omega)^n Y(\omega) + a_{n-1} (i\omega)^{n-1} Y(\omega) + \cdots + a_1 (i\omega) Y(\omega) + a_0 Y(\omega) = F(\omega)

提取 $Y(\omega)$ ：

\left[ a_n (i\omega)^n + a_{n-1} (i\omega)^{n-1} + \cdots + a_1 (i\omega) + a_0 \right] Y(\omega) = F(\omega)

记 $P(i\omega) = a_n (i\omega)^n + \cdots + a_0$ （称为特征多项式），则：

\boxed{Y(\omega) = \frac{F(\omega)}{P(i\omega)}}

然后取逆变换：

\boxed{y(t) = \mathcal{F}^{-1}\left[\frac{F(\omega)}{P(i\omega)}\right] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{F(\omega)}{P(i\omega)} e^{i\omega t} d\omega}

这就完成了求解！

二、标准解题步骤

步骤1：设 $Y(\omega) = \mathcal{F}[y(t)]$ ， $F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)]$ （若 $f(t)$ 给出具体形式，先计算其傅里叶变换）。

步骤2：对方程两边取傅里叶变换，利用微分性质 $\mathcal{F}[y^{(k)}(t)] = (i\omega)^k Y(\omega)$ 。

步骤3：得到关于 $Y(\omega)$ 的代数方程，解出：

Y(\omega) = \frac{F(\omega)}{P(i\omega)}

步骤4：取傅里叶逆变换求得 $y(t)$ （通常保留积分形式，或利用常见变换对写出显式解）。

三、完整例题精讲

例题1（样卷2第10题）

题目：用傅里叶变换方法求方程 $y'' - y' + y = f(t)$ 的解，其中 $f(t)$ 为已知函数，且其傅里叶变换为 $F(\omega)$ 。

解：

步骤1：设 $Y(\omega) = \mathcal{F}[y(t)]$ ， $F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)]$ （已给定）。

步骤2：利用微分性质：
$\mathcal{F}[y'(t)] = i\omega Y(\omega)$ $\mathcal{F}[y''(t)] = (i\omega)^2 Y(\omega) = -\omega^2 Y(\omega)$
原方程两边取傅里叶变换：
$\mathcal{F}[y''] - \mathcal{F}[y'] + \mathcal{F}[y] = \mathcal{F}[f(t)]$ $(-\omega^2) Y(\omega) - (i\omega) Y(\omega) + Y(\omega) = F(\omega)$
步骤3：整理：
$Y(\omega) [-\omega^2 - i\omega + 1] = F(\omega)$ $Y(\omega) = \frac{F(\omega)}{1 - i\omega - \omega^2}$
步骤4：取逆变换得到最终解：
$y(t) = \mathcal{F}^{-1}\left[ \frac{F(\omega)}{1 - i\omega - \omega^2} \right] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{F(\omega)}{1 - i\omega - \omega^2} e^{i\omega t} d\omega$
（考试中写到这一步即可得满分。）

例题2： $f(t)$ 具体给出时

题目：用傅里叶变换方法求解 $y'' + 4y = e^{-|t|}$ 。

解：

步骤1：先求 $f(t) = e^{-|t|}$ 的傅里叶变换。已知（见§7.1例2）：
$F(\omega) = \mathcal{F}[e^{-|t|}] = \frac{2}{1 + \omega^2}$
（此处 $\alpha = 1$ ，故 $F(\omega) = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + \omega^2} = \frac{2}{1+\omega^2}$ 。）

设 $Y(\omega) = \mathcal{F}[y(t)]$ 。

步骤2：对方程取傅里叶变换：
$\mathcal{F}[y''] + 4\mathcal{F}[y] = \mathcal{F}[e^{-|t|}]$ $-\omega^2 Y(\omega) + 4 Y(\omega) = \frac{2}{1+\omega^2}$
步骤3：
$Y(\omega) (4 - \omega^2) = \frac{2}{1+\omega^2}$ $Y(\omega) = \frac{2}{(1+\omega^2)(4-\omega^2)} = \frac{2}{(1+\omega^2)(2-\omega)(2+\omega)}$
步骤4：求逆变换。对被积函数做部分分式分解：
$\frac{2}{(1+\omega^2)(4-\omega^2)} = \frac{A}{1+\omega^2} + \frac{B}{2-\omega} + \frac{C}{2+\omega}$
（具体系数略，最终可求得 $y(t)$ 的显式表达式。）

逆变换可通过查常见变换对完成：

$\mathcal{F}^{-1}[\frac{2}{1+\omega^2}] = e^{-|t|}$

其余项对应指数函数。

例题3：含初始条件的理解

题目：用傅里叶变换方法求 $y'' + \omega_0^2 y = f(t)$ 的通解。

解：
$\mathcal{F}[y''] + \omega_0^2 \mathcal{F}[y] = F(\omega)$ $-\omega^2 Y + \omega_0^2 Y = F(\omega)$ $Y(\omega) = \frac{F(\omega)}{\omega_0^2 - \omega^2}$
取逆变换：
$y(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{F(\omega)}{\omega_0^2 - \omega^2} e^{i\omega t} d\omega$
注意， $\frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2}$ 在 $\omega = \pm\omega_0$ 处有奇点，逆变换积分需按主值意义理解（或在复平面上绕过极点）。这与共振现象密切相关。

四、用傅里叶变换 vs 拉普拉斯变换解ODE

比较维度	傅里叶变换	拉普拉斯变换
变换变量	$\omega$ （实数）	$s$ （复数）
适用范围	全实轴 $(-\infty, \infty)$	半实轴 $[0, \infty)$ （带初始条件）
初始条件	不直接体现（隐含在变换中）	自动代入（通过微分性质中的初值项）
对 $f(t)$ 的要求	绝对可积（或广义函数）	指数阶增长即可
逆变换难度	通常保留积分形式	部分分式 + 查表，较容易
样卷考法	给定 $F(\omega)$ ，求 $y(t)$ 的积分表达式	给定初始条件，求具体解

样卷的设计：

第7章傅里叶变换：解无初始条件的方程（或初始条件隐含于 $t \to \pm\infty$ 的衰减条件中），答案保留积分形式。

第8章拉普拉斯变换：解带初始条件的初值问题，答案是具体的函数表达式（通过部分分式分解求得）。

五、微分方程解法步骤速记卡

1
常系数线性ODE:  aₙ y⁽ⁿ⁾ + ... + a₀ y = f(t)
2
                    │
3
                    ▼ 傅里叶变换（利用 F[y⁽ᵏ⁾] = (iω)ᵏ Y(ω)）
4
                    │
5
      [aₙ(iω)ⁿ + ... + a₀] Y(ω) = F(ω)
6
                    │
7
                    ▼ 解出 Y(ω)
8
                    │
9
           Y(ω) = F(ω) / P(iω)
10
                    │
11
                    ▼ 逆变换
12
                    │
13
    y(t) = (1/2π) ∫ [F(ω)/P(iω)] e^{iωt} dω

样卷真题精讲

样卷1 第9题（5分）

题目：求函数

f(t) = \begin{cases} e^{-|t|}, & |t| \leq 1 \\ 0, & |t| > 1 \end{cases}

的傅里叶变换。

解：

按定义：
$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt = \int_{-1}^{1} e^{-|t|} e^{-i\omega t} dt$
分段：
$= \int_{-1}^{0} e^{t} e^{-i\omega t} dt + \int_{0}^{1} e^{-t} e^{-i\omega t} dt$ $= \int_{-1}^{0} e^{(1-i\omega)t} dt + \int_{0}^{1} e^{-(1+i\omega)t} dt$
第一段：
$I_1 = \left[ \frac{e^{(1-i\omega)t}}{1-i\omega} \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{1-i\omega} - \frac{e^{-(1-i\omega)}}{1-i\omega} = \frac{1 - e^{-1+i\omega}}{1-i\omega}$
第二段：
$I_2 = \left[ \frac{e^{-(1+i\omega)t}}{-(1+i\omega)} \right]_{0}^{1} = \frac{1 - e^{-1-i\omega}}{1+i\omega}$
合并：
$F(\omega) = \frac{1 - e^{-1+i\omega}}{1-i\omega} + \frac{1 - e^{-1-i\omega}}{1+i\omega}$
通分：
$F(\omega) = \frac{(1 - e^{-1+i\omega})(1+i\omega) + (1 - e^{-1-i\omega})(1-i\omega)}{(1-i\omega)(1+i\omega)}$
分母： $(1-i\omega)(1+i\omega) = 1 + \omega^2$

分子展开（略去中间步骤）：
$= \frac{2 - e^{-1}(e^{i\omega} + e^{-i\omega}) - i\omega e^{-1}(e^{i\omega} - e^{-i\omega})}{1+\omega^2}$ $= \frac{2 - 2e^{-1}\cos\omega + 2\omega e^{-1}\sin\omega}{1+\omega^2}$ $\boxed{F(\omega) = \frac{2[1 - e^{-1}(\cos\omega - \omega\sin\omega)]}{1+\omega^2}}$
这与样卷参考答案一致。

样卷2 第9题（5分）

题目：求函数

f(t) = \begin{cases} e^{-t}, & -1 \leq t \leq 1 \\ 0, & |t| > 1 \end{cases}

的傅里叶变换。

解：
$F(\omega) = \int_{-1}^{1} e^{-t} e^{-i\omega t} dt = \int_{-1}^{1} e^{-(1+i\omega)t} dt$ $= \left[ \frac{e^{-(1+i\omega)t}}{-(1+i\omega)} \right]_{-1}^{1} = \frac{e^{-(1+i\omega)} - e^{(1+i\omega)}}{-(1+i\omega)} = \frac{e^{1+i\omega} - e^{-1-i\omega}}{1+i\omega}$
若要求写成三角函数形式，继续化简：
$e^{1+i\omega} = e(\cos\omega + i\sin\omega)$ $e^{-1-i\omega} = e^{-1}(\cos\omega - i\sin\omega)$
分子：
$= (e - e^{-1})\cos\omega + i(e + e^{-1})\sin\omega = 2\sinh(1)\cos\omega + 2i\cosh(1)\sin\omega$ $\boxed{F(\omega) = \frac{2\sinh(1)\cos\omega + 2i\cosh(1)\sin\omega}{1+i\omega}}$
考试中保留指数形式 $\frac{e^{1+i\omega} - e^{-1-i\omega}}{1+i\omega}$ 通常也可得满分。

样卷2 第10题（10分）

已在上面§7.5（四、微分方程部分）例题1中完整讲解。

🔑 第七章考试公式速查卡

必背定义

F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt, \quad f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega

必背变换对

| $f(t)$ | $F(\omega)$ | | ------------------- | --------------------------------------------------------- | --- | ----------------------------------- | | $\delta(t)$ | $1$ | | $1$ | $2\pi\delta(\omega)$ | | $e^{i\omega_0 t}$ | $2\pi\delta(\omega-\omega_0)$ | | $\cos\omega_0 t$ | $\pi[\delta(\omega-\omega_0) + \delta(\omega+\omega_0)]$ | | $\sin\omega_0 t$ | $i\pi[\delta(\omega+\omega_0) - \delta(\omega-\omega_0)]$ | | $e^{-\alpha t}u(t)$ | $\frac{1}{\alpha+i\omega}$ | | $e^{-\alpha | t | }$ | $\frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2}$ |

必背性质

| 性质 | 公式 | | ------------ | ------------------------------------------------------- | --- | --------------------- | | 时移 | $\mathcal{F}[f(t-t_0)] = F(\omega)e^{-i\omega t_0}$ | | 频移 | $\mathcal{F}[f(t)e^{i\omega_0 t}] = F(\omega-\omega_0)$ | | 一阶微分 | $\mathcal{F}[f'(t)] = i\omega F(\omega)$ | | 二阶微分 | $\mathcal{F}[f''(t)] = -\omega^2 F(\omega)$ | | 尺度 | $\mathcal{F}[f(at)] = \frac{1}{ | a | }F(\frac{\omega}{a})$ |

解ODE标准模板

1
已知: a₂y'' + a₁y' + a₀y = f(t)
2
设:  Y(ω) = F[y],  F(ω) = F[f]
3
变换: a₂(iω)²Y + a₁(iω)Y + a₀Y = F(ω)
4
      → (-a₂ω² + ia₁ω + a₀)Y = F(ω)
5
解出: Y(ω) = F(ω) / (a₀ + ia₁ω - a₂ω²)
6
逆变换: y(t) = (1/2π) ∫ Y(ω) e^{iωt} dω

以上是第七章傅里叶变换的完整考试内容。核心要点是：正逆变换定义、δ函数的筛选性、六大性质（特别是微分性质）、以及用微分性质解ODE的标准流程。§7.4卷积已确认不考，无需复习。

第七章 傅里叶变换 —— 考试版精讲

目录

§7.1 傅里叶变换的定义

一、从傅里叶级数到傅里叶变换——思想渊源

二、傅里叶积分定理

三、傅里叶变换的正式定义

四、几点关键说明

五、傅里叶变换的三角形式

六、常见函数的傅里叶变换（逐一推导）

例1：单边指数衰减函数

例2：双边指数衰减函数

例3：矩形脉冲（门函数）

例4：对称指数衰减截断函数（样卷1第9题类型）

例5：单边截断指数函数（样卷2第9题类型）

§7.2 单位脉冲函数（δ函数）及其傅里叶变换

一、为什么要引入δ函数

二、δ函数的定义

三、δ函数的核心性质

四、δ函数的傅里叶变换

五、正弦函数和余弦函数的傅里叶变换

六、基本傅里叶变换对速查表

§7.3 傅里叶变换的性质

性质一：线性性质

性质二：时移性质（Time-Shifting）

性质三：频移性质（Frequency-Shifting）

性质四：尺度变换性质（Scaling）

性质五：时域微分性质 ⭐⭐⭐（解ODE的核心）

性质六：时域积分性质

性质七：频域微分性质

性质八：对称性质（对偶性）

傅里叶变换性质总表（必背）

核心应用：用傅里叶变换解常系数线性微分方程

一、基本原理

二、标准解题步骤

三、完整例题精讲

例题1（样卷2第10题）

例题2：f(t)f(t)f(t) 具体给出时

例题3：含初始条件的理解

四、用傅里叶变换 vs 拉普拉斯变换解ODE

五、微分方程解法步骤速记卡

样卷真题精讲

样卷1 第9题（5分）

样卷2 第9题（5分）

样卷2 第10题（10分）

🔑 第七章考试公式速查卡

必背定义

必背变换对

必背性质

解ODE标准模板

第七章傅里叶变换 —— 考试版精讲

例题2： $f(t)$ 具体给出时